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投资组合理论――学院派和复利派之争

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鲁晨光

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最近，万卷出版公司出版了美国作者威廉?庞德斯通写的《财富公式：玩转拉斯维加斯和华尔街的故事》[1]（后面简称《财富公式》），该书详细地介绍了围绕凯利公式发生的许多有趣故事，使得投资组合的学院派（以马科维茨理论为基础）和复利派（以几何平均收益为准则）之争在中国更加广为人知。早在1997年，中国科技大学出版社就出版了我的专著《投资组合的熵理论和信息价值――兼谈股票期货等风险控制》[2]――它正好包含了《财富公式》所缺少的技术细节。从美国长期资本公司失败到最近的次贷危机，越来越多的案例揭示了，投资组合理论的学院派存在严重问题，基于马氏理论的风险测度Var不能很好反映投资风险。现在正是投资界考虑接受一种不同的投资组合理论的时候了。

什么是投资组合？

首先我们从掷硬币打赌谈起。假设有一种可以不断重复的投资或打赌，其收益由掷硬币确定，硬币两面出现的可能性相同；出A面你投一亏一，出B面你投一赚二；假设你开始只有100元，输了没法再借。现在问怎样重复下注，可以使你尽快地由百元户变为百万元户? 凯利公式告诉我们，每次将你所有资金的25%用来下注，你变为百万富翁的平均速度将最快。前面的打赌中，硬币只有一个。 如果同时有两个、三个或更多，赌不同硬币的赢亏幅度也不同，两面出现的概率也可能不同；那么，怎样确定在不同硬币上的最优下注比例？如果不同硬币出现A面B面是不同程度相关的(比如一个出A面，另一个十有八九相同--正相关，或相反－－反相关)，又如何确定最优下注比例？股票、期货、期权、放贷、房地产、高科技等投资象掷硬币打赌一样，收益是不确定的且是相互关联的。 如何确定在不同证券或资产上的投资比例，以使资金稳定快速增长，并且风险较小，这就是投资组合理论要解决的问题。

马科维茨理论及其缺陷

1952年，马科维茨（Harry Markowitz）发表了《有价证券的选择：有效的转移》。他导致了投资组合理论的诞生。1990年，瑞典皇家科学院将诺贝尔经济学奖授予了马科维茨、夏普(William F. Sharpe) 和米勒(Merton Miller), 以表彰他们在投资组合和证券市场理论上的贡献。

马科维茨用期望收益 E和标准方差d表示一种证券的投资价值和风险。期望收益也就是算术平均收益。收益的标准方差d反映了收益的不确定性。比如对于上面的掷硬币打赌，用全部资金下注时，

E =P1 r1 P2 r2 =0.5×(-1) 0.5×2=0.5

d =[P1( r1-E)2 P2( r2-E)2]0. 5=[0.5(-1-0.5)2 0.5(2-0.5)2]0.5=1.5

上式中 P1=0.5和r1= -1是亏钱的概率和幅度，P2=0.5和r2=2是嬴钱的概率和幅度。根据马科维茨理论，期望越大越好，而标准方差越小越好。至于两种证券或组合，一个比另一个期望收益大，标准方差也大，那么选择哪一个好呢？马科维茨理论认为这没有客观标准。有人不在乎风险而只希望期望收益越大越好，而有人为了小一些的风险而情愿要低一些的期望收益。

马科维茨证明了，通过分散投资互不相关或反相关的证券，可以在不降低期望收益的情况下，减小总的投资的标准方差 (即风险). 比如同时用两个硬币打赌，嬴亏幅度同样，每种证券下注50%时, 收益的可能性有三种：1)两边亏，亏100％，概率是=0.25; 2)一亏一嬴，嬴50％, 概率=0.5 ; 3)两边嬴，嬴200％，概率是0.25. 这时期望收益E=0.5不变，标准方差d则由1.5减小为1.06。如果两个硬币的嬴亏总是反相关的，比如一个出 A面，另一个必定出B面，反之亦然；则期望收益不变，标准方差为d=0--完全无风险。

马科维茨理论的成就是巨大的，但是其缺陷也是不可忽视的。缺陷之一是：不认为有客观的最优投资比例，或者说并不提供使资金增值最快的投资比例 (当然也就不能解决前面的掷硬币打赌问题)； 缺陷之二是：标准偏差并不能很好反应风险。下面我们举例说明。

例：两种证券当前价格皆是1元，证券I(象是期权)未来价格可能是0元和2元，概率分别为1/4和3/4（参看图1，其中产出比=本利和/本金=1 收益)。证券II(象是可换股债券)的收益的期望和标准方差同样是0.5和0.886，但是产出比以1.5为中心对称反转了一下。两者投资价值分析如表1所示(这里忽略银行利息和交易手续费)。

图 1. 期望和标准方差相同但风险不同的两个证券

表 1. 期望收益和标准方差相同的两种证券的投资价值分析

　

E

D

满仓时的G

优化比例％

优化后的G

证券 I

0．5

0．886

-100％

50

15％

证券 II

0．5

0．886

32％

100

32％

表中-100%意味着可能破产。按马科维茨理论，I和II投资价值相同，而按常识和基于复利准则的投资组合理论，II远优于I。 对于存在大比例亏损可能的投资，比如期权、期货、放贷(可能收不回本金)、卫星发射和地震保险（风险极大而标准方差并不大），马科维茨理论的缺陷尤为明显。

?????? 标准方差和VaR掩盖了小概率深度亏损， 而小概率事件可能非常可怕。 美国长期资本公司破产、次贷危机、中信泰富和深南电因为累积看跌期权Accumulator产生巨亏， 都是因为忽视了小概率深度亏损。《证券市场周刊》12月6号的封面文章《大银行的长尾》（作者：杜丽虹）讲的就是银行业小概率深度亏损问题。文中说明，一旦危机发生，本来不相关的业务突然变得相关起来，小概率变成大概率。不久流行的《黑天鹅》[3]一书，谈的也是不要忽视偶然的深度亏损。可见大家越来越注意到小概率深度亏损的重要性。

基于复利准则的投资组合理论 ( 简称G理论 )

复利通俗说来就是利滚利的利率，学术上叫几何平均收益。比如100元10年后变成1100元，单利或算术平均收益是（1100－100）/10=100%， 但是复利或几何平均收益 x 由下式确定：（1＋ x ）10=1100/100。由此解得x=27%。几何平均收益反映长期累积增值， 但是算术平均收益不能反映。比如有两个证券， 一个每年增值25％； 另一个一年增值100％， 下一年又亏损50％， 反复如此（长期不赚钱）。虽然后一个证券的算术平均收益也是25％，但是其几何平均收益是0，所以其投资价值差远了。

对于上面的掷硬币打赌，几何平均产出比 ＝1＋G（G是几何平均收益）随下注比例q的变化是

其中P1和P2分别是亏损和赢利的概率。数学分析表明，q = 0.25时，几何平均收益 达最大。这就是说，对于上面的掷硬币打赌，25％是最优投资比例。

图2. ?E和G随q的变化

对于上面的掷硬币打赌，算术平均收益E和几何平均收益G随下注比例q的变化如图2所示。容易看出，算术平均收益E和投资比例q成正比关系；而几何平均收益G不是，q太大反而不好，如果q>0.5则从长远看必然亏损。可见复利准则对头寸和杠杆的限制很严。

上面假设硬币的两面出现的可能性或概率相同，嬴亏幅度是给定的（-1和2)。 如果硬币是弯的，P1和P2皆不等于0.5, 并且亏损和赢利的幅度也是变的(为r1<0和r2>0)， 这时几何平均产出比等于

令 对q的导数等于0,可以求出最优投资比例是

如果令r1=1(即亏了输掉全部下注资金)，则上面公式就变成著名的凯利公式：

对于更一般的投资组合。几何平均产出比变为

其中 qk 是不同证券上的投资比例， i表示一组证券的价格矢量的序号， Rik表示第 i 个价格矢量发生时，第 k 种证券的收益。我们记

为增值熵，求使 H 达最大的一组q0, q1, q2, … 这组投资比例就是最优组合。

?????? 和马科维茨理论一致的是，G理论也强调分散投资降低风险， 特别是利用不同证券之间的反相关性质降低风险。但是不同的是：1） G理论把复利或长期累积增值幅度当作客观标准，而马科维茨理论不然。2）G理论要求我们预测最大可能亏损幅度和相应的概率，它力图避免深度亏损和破产； 而马科维茨理论忽视偶然的深度亏损。

用破产风险测度取代流行的风险测度 VaR

流行的风险测度是VaR，其含义是：在未来某时段内，一个投资组合在多大可能（置信度）的情况下，价值损失不超过多少（VaR值）。比如，一个基金在95％的情况下，一天损失不超过100万元。VaR测度的问题是：

1）在另外5％的情况下（以置信度95％为例），亏损最多达到多少？VaR测度并不提供。

2）VaR是根据过去数据统计得到的，而过去不表示未来。过去见到的天鹅都是白的，不表明不会出现黑天鹅。2008年的经济危机就前所未有。

?????? 为此， 我建议用勾股弦公式

定义风险 F ――它反映收益的波动性和亏损深度。再用f=F/(1 E)定义破产风险， 它在0和1之间变化。当 G ＝ E 时， F ＝0， 破产风险 f ＝0； 当 G ≤－1时（只要有一个价格矢量使得组合亏损超过100％， 那么不管它发生的概率多么小，都会有 G ≤-1），破产风险f=1。有趣的是 f 和通信理论中的信噪比很相似[4]。

?????? 由于高杠杆交易流行，一个组合的可能亏损可能很深，虽然它发生的概率很小，但是一旦发生， 破坏力极大， 所以不能不防。破产风险测度 f 将告诉我们一个投资组合离破产有多远。限定 f 在某个范围，比如f <0.3, 便是把投资风险控制在适当范围内。

撒谬而森为什么竭力反对凯利公式和 G 理论

1956年，贝尔实验室的凯利（John L. Kelly）在香农（Claude E. Shannon）信息论启发下，提出了基于复利准则的打赌公式――凯利公式。 1967年，经济学家拉坦内（Henry. A. Latane） 和塔特尔（Donald. L. Tuttle）在不知道凯利研究的情况下，发表文章介绍了类似研究[5]。我是广义信息论研究者[6]，我也受香农理论启发做了类似研究。出书之前我才知道拉坦内和塔特尔的研究，后来我才知道凯利的研究。我的这项研究功劳不大，但是苦劳不少。我研究了许多细节问题， 比如考虑资金成本、交易手续费、透支、卖空……时的优化方法和近似快速优化方法；证明了分散投资极限定理，证明了投资容量（最大可能盈利幅度）公式和信道容量公式相似。我还研制了电脑优化模拟程序[7]。

《财富公式》介绍了索普（Edward Thorp）如何实践G理论。索普早年和香农一起研究战胜轮盘赌技术，后来利用凯利公式和21点战胜赌场， 再后来成为私募基金经理人，管理对冲基金，业绩优异。香农本人也是投资高手，其投资成功和G理论密切相关。我也是G理论的实践者，我的15年投资经验也表明G理论非常有用[8]。

?????? 然而，长期以来，G理论一直遭受经济学权威萨谬尔森（Paul A. Samuelson）为首的学院派的压制。萨谬尔森甚至在大众面前骂凯利和索普是骗子。当时香农和萨缪尔森同在麻省理工学院，两人关系不错，香农拿萨缪尔森当朋友。而凯利和索普也是香农的朋友。香农得知此事深感奇怪。究竟什么原因，使得学术之争导致人身攻击？萨谬尔森曾在马科维茨理论基础上研究过投资组合问题，结论是非重复投资用马科维茨理论合适，无数次重复投资用复利准则合适。据此，G理论也应该有其地位。《财富公式》认为，学院派排斥G理论似乎是因为它出自科学技术研究者之手，是外来理论。我不这么认为。拉坦内和塔特尔是经济学家，他们发表文章的时候经济学界并不知道凯利公式。他们的研究照样受到压制。索普说，美国长期资本公司的破产和学院派对G理论的压制有关。我以为次贷危机也不例外。

?????? 联系萨缪尔森为首的学院派和巴菲特关于有效市场理论之争，人身攻击不难理解。有效市场理论认为，市场通常是有效的，证券价格是随机的，不可预测的；我们不可能通过分析公开资料获得有用信息。而巴菲特否定有效市场理论，肯定通过公开资料的研究可以获得有用信息。学院派用过去的波动度量风险，这也遭到巴菲特的嘲笑，他说， 我无论如何也不能理解，一个股票跌了一半以后，风险反而变大了。

?????? 原来G理论和有效市场理论不相容， 而和巴菲特的做法是一致的（《财富公式》也肯定了这一点）。最近出版的巴菲特传记，其书名是《滚雪球》， 滚雪球正是复利准则的生动写照。而萨缪尔森等人靠有效市场理论赢得了诺贝尔奖。马科维茨理论采用正态分布假设，这正好符合证券价格的随机漫步理论。而G理论要求预测最坏情况，它根据未来可能的跌幅度量风险，这些都和有效市场理论格格不入。《财富公式》说，萨缪尔森居然买了巴菲特管理的伯克希尔公司的股票。这也令人奇怪。可见，一个权威为了维护其权威，他相信的和他说的可能真的不一样。

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[1] 参看： www.eastmoney.com/serialize-id-9220.html

[2] 参看：www.eastmoney.com/lcg/books/portfolio/index.htm

[3] 参看：www.eastmoney.com/gemag/new/Picnew_content.asp?C_id=825

[4] 参看：www.eastmoney.com/lcg/my/006-tzrl.html

[5] 参看：Latane，H. A. and Tuttle D. L. Criterion for portfolio building， The Journal of Finance， 22 ，3(1967)，359—373

[6] 参看：鲁晨光《广义信息论》，中国科学技术大学出版社，1993

[7] 参看：www.eastmoney.com

[8] 参看我管理的实验基金记录：www.eastmoney.com/xcz/fund