计数电灯开关问题

计数报数转身问题：

题1：30个人围成一圈，从小军开始，顺时针方向1至7报数，报到7的人淘汰出局，再从被淘汰者后面第一人开始同样报数，报到7者同样被淘汰，这样一直报下去。（1）小军第四次报数时，报的是几号？（2）小军第几次报数时被淘汰？

解：第一次 原序号 1；
第二次 30=4×7+2，新序号 1+2=3 （原序号+余数）；
第三次 30-4=26=3×7+5，新序号 3+5=8=1×7+1 →1（前序号+余数；大于7的要减去7）；
第四次 26-3-1=22=3×7+1，新序号 1+1=2 （前序号+余数）；
第五次 22-3=19=2×7+5，新序号 2+5=7（前序号+余数；大于7的要减去7） 。

注意：新序号等于7时就淘汰出局了。

答案：
（1）小军第四次报数时，报的是2号；
（2）小军第五次报数时被淘汰。

题2：一群人排一排,从左到右1至4报数,从右到左1至6报数,同时报3的有5名,问最多有几个人排队?

解：五个人同时报3,那么他们的距离是四的倍数,又是六的倍数,就是四和六的最小公倍数：12
第一个人的位置是3,第二个人的位置就是15,.第五个人的位置就是51.
反过来计算,第51就是第三,也就是后面还有两个人,
所以最少一共有53个人.
最多有几个人呢?
前面可以加4的倍数个,后面可以加6的倍数,只要符合同时报3的人不再出现就行.
这样前面可以加8个,后面可以加6个,一共是67个.
这样就是最多了吗,前面加的人一定是4的倍数,后面加的人一定是6的倍数?
是的,因为有5个人左右报数都是3,而不是2或者1什么的.
如果前面再加1或3个人,达到68或70个,那么左右报相同数字的人就没有；
如果前面加2个人,达到69个,那么左右报相同数字的人报的是2,而不是3；
如果右面增加1,2,3个人和左边增加1,2,3个人是同样的效果；
如果右面增加4个人,那报相同数字的人就会达到6个；
如果右面增加5个人,那报相同数字的人就不存在.
所以,答案最多人数是67.

不定方程五家共井问题

“五家共井”问题和“鸡兔同笼”问题一样，都是一个著名的问题。具体的题目如下：现在有五家共用一口井，甲、乙、丙、丁、戌五家各有一条绳子汲水（下面用文字表示每一家的绳子）：甲×2+乙=井深，乙×3+丙=井深，丙×4+丁=井深，丁×5+戌=井深，戌×6+甲=井深，求甲、乙、丙、丁、戌各家绳子的长度和井深。

解：这种题目用的是五元一次方程组，解法如下：

设甲、乙、丙、丁、戌五根绳子分别常s、tx、y、z、，井深u，那么列出方程组：

( 2x + y = u

3y + z = u

{ 4z + s = u

5s + t = u

( 6t + x = u

解方程组得x、y、z、s、t分别等于265/721m、191/721m、148/721m、129/721m、76/721m，而井深为1M。

井深：721 甲绳：265 乙绳：191 丙绳：148 丁绳：129 戊绳：76

策略问题抢报数

两个人轮流报数，但报出的数只能是1到8的自然数。同时，把所有报过的数一个一个全部加起来，谁先使得这个累加和达到100，谁就获胜。怎样才能确保获胜？

解：此题跟取棋子的必胜题类似。

简化思考：

对100这个目标值简化

1、如果要求达到的是8以下的， 只要先报，就可以一次报到位，赢

2、如果要求达到的是9， 必须后报，先报的人输定了

3、如果要求达到10， 先报，并且先报1， 然后剩下9给另外一个人， 让他成为情形2中的“先报人”

正式解题：

100÷（8+1）=100÷9=11 余 1

必胜的策略是：先报，而且先报1；然后在对方报数之后，报 9 - 对方报的数，确保两人的和是9

思考：

如果其他条件不变，规则改为：先使累加和达到100的人输，应如何制定必胜策略？

跟上一题类似，先到100输的话，那就要确保自己报到99后，留给对手报数。这样的话，

99 ÷（1+8）=11是9的倍数，所以必胜的策略是：后报，并且每次报 9-对方报的数 。